几何学

Geometer 是 Python 的几何库，它使用射影几何和 numpy 进行快速几何计算。在射影几何中，2D 中的每个点都由一个 3D 向量表示，3D 中的每个点都由一个 4 维向量表示。这具有以下优点：

• 无穷远处的点可以像普通点一样处理。
• 投影变换由矩阵描述，但它们也可以表示平移和一般仿射变换。
• 如果两条线位于同一平面上，则它们具有唯一的交点。平行线在无穷远处有一个交点。
• 通过给定点的交点、平面或线可以使用简单的叉积或张量图来计算。
• 无穷大和交叉比的特殊复点可用于计算角度和构建垂直几何结构。
• 点和线的集合可以用张量表示。它们的连接线和交点可以使用快速矩阵乘法计算。

库中的大部分计算都是通过张量图完成的（使用 numpy.einsum）。

Geometer 最初是作为一种学习练习而构建的，它基于慕尼黑工业大学教授的两门研究生课程。在项目上投入了大量时间后，它现在经过了相当良好的测试，API 应该是稳定的。

包的源代码可以在GitHub上找到 ，文档可以在Read the Docs上找到。

安装

您可以直接从 PyPI 安装包：

pip install geometer

用法

from geometer import *
import numpy as np

# Meet and Join operations
p = Point(2, 4)
q = Point(3, 5)
l = Line(p, q)
m = Line(0, 1, 0)
l.meet(m)
# Point(-2, 0)

# Parallel and perpendicular lines
m = l.parallel(through=Point(1, 1))
n = l.perpendicular(through=Point(1, 1))
is_perpendicular(m, n)
# True

# Angles and distances (euclidean)
a = angle(l, Point(1, 0))
p + 2*dist(p, q)*Point(np.cos(a), np.sin(a))
# Point(4, 6)

# Transformations
t1 = translation(0, -1)
t2 = rotation(-np.pi)
t1*t2*p
# Point(-2, -5)

# Collections of points and lines
coordinates = np.random.randint(100, size=(1000, 2))
points = PointCollection([Point(x, y) for x, y in coordinates])
lines = points.join(-points)
zero = PointCollection(np.zeros((1000, 2)), homogenize=True)
lines.meet(rotation(np.pi/2)*lines) == zero
# True

# Ellipses/Quadratic forms
a = Point(-1, 0)
b = Point(0, 3)
c = Point(1, 2)
d = Point(2, 1)
e = Point(0, -1)

conic = Conic.from_points(a, b, c, d, e)
ellipse = Conic.from_foci(c, d, bound=b)

# Geometric shapes
o = Point(0, 0)
x, y = Point(1, 0), Point(0, 1)
r = Rectangle(o, x, x+y, y)
r.area
# 1

# 3-dimensional objects
p1 = Point(1, 1, 0)
p2 = Point(2, 1, 0)
p3 = Point(3, 4, 0)
l = p1.join(p2)
A = join(l, p3)
A.project(Point(3, 4, 5))
# Point(3, 4, 0)

l = Line(Point(1, 2, 3), Point(3, 4, 5))
A.meet(l)
# Point(-2, -1, 0)

p3 = Point(1, 2, 0)
p4 = Point(1, 1, 1)
c = Cuboid(p1, p2, p3, p4)
c.area
# 6

# Cross ratios
t = rotation(np.pi/16)
crossratio(q, t*q, t**2 * q, t**3 * q, p)
# 1.4408954235712448

# Higher dimensions
p1 = Point(1, 1, 4, 0)
p2 = Point(2, 1, 5, 0)
p3 = Point(3, 4, 6, 0)
p4 = Point(0, 2, 7, 0)
E = Plane(p1, p2, p3, p4)
l = Line(Point(0, 0, 0, 0), Point(1, 2, 3, 4))
E.meet(l)
# Point(0, 0, 0, 0)

参考

包中实现的许多算法和公式取自以下书籍和论文：

• Jürgen Richter-Gebert，关于投影几何的观点
• Jürgen Richter-Gebert 和 Thorsten Orendt，Geometriekalküle
• Olivier Faugeras，三维计算机视觉
• Jim Blinn，空间中的线条：4D 交叉产品
• Jim Blinn，空间中的线条：线条公式
• Jim Blinn，空间中的线条：两个矩阵
• Jim Blinn，空间中的线条：回到图表
• Jim Blinn，《太空中的线条：两条线的故事》
• Jim Blinn，空间中的线条：我们的朋友双曲抛物面
• Jim Blinn，空间中的线条：Tinkertoys 的代数
• Jim Blinn，空间中的线条：通过四行的线条